MEDIDAS DE TENDENCIA CENTAL Y DE DISPERCIÓN.

Aprendimos que las masas de los datos no se recopilan en forma de tablas con indicadores pre calculados que las describan y sinteticen; al contrario: Determina una recopilación de datos que parece no tener pies ni cabeza. Su objetivo es obtener de ellos una imagen lo más claro posible; pero por lo general, seria imposible entenderlos e interpretarlos cabalmente si no se dispusiera de algunos indicadores que los resumiera. Estos son dos principalmente: una medida de tendencia central “una especia de promedio” y otra de dispersión, que dice cuanto se separan los datos respecto al promedio.

Antes de empezar el estudio de algunas medidas de tendencia central y de dispersión, nos familiaricemos con la notación que le es propia.

NOTACION SIGMA.

En la inmensa mayoría de los cálculos estadísticos siempre hay un paso que consiste en sumar conjuntos de cantidades. Por esta razón se ha convertido que se utilice un símbolo propio, la letra griega sigma (∑) para indicar que hay que sumar lo que aparece a su derecha. Este símbolo se conoce como sumatoria y se debe de leer: “efectúa la suma de” o, simplemente “la sumatoria de”. También se buscan en mayúsculas la ultimas letras de nuestro abecedario para denotar variables (X, Y, Z, W, etc.) y las primeras letras para constantes (A, B, C, etc.).  

REGLAS DE LA SUMATORIA.

Estudiaremos las reglas fundamentales que gobiernan por decirlo así el uso de la sumatoria.

1. Sumatoria de los datos de una variable.

Para hallar la sumatoria de los datos de una variable, no hay mas procedimientos que el de la agregación, es decir agregar a cada dato el que sigue, hasta terminar. Simbólicamente, esta regla se describe así: 

Ejemplo: numero de hijas por familia 

 

2.-Sumatoria de una constante. 

La sumatoria de una constante que aparece en un conjunto, es simplemente n veces la constante:

Si tenemos cinco valor de C, y si C=10 

La diferencia entre la primera y la segunda es que la primera x es una variable que adopta diversos valores, mientras que la segunda C es un valor que no cambia.
  

3.-Sumatoria de una variable y una constante sumada o restada.   
 La  sumatoria de los datos de una variable y una constante sumada o restada, es igual a la suma de los datos de la variable mas n veces la constante. La expresión: 

Ordena primero sumar la constante C o cada dato dela variable X y después hallar la sumatoria de todos los valores (X+n). Retomando los valores de X y C que nos han servido para simplificar ejemplo:

 

Si reagrupamos sumandos, resulta:

 

El primer término del segundo miembro de la igualdad anterior es ∑X  y segundo ∑C. Por tanto

RESTA

Puesto que la resta es un caso particular en la suma, es claro que:

NOTA: las expresiones                                                                 son diferentes.


La primera manda a incorporar la constante a cada dato de la variable antes de efectuar la sumatoria; la segunda, agrega la constante a la sumatoria; de los datos de la variable ejemplo:

 
4.- Sumatoria de una variable con un multiplicador o divisor constante.
La sumatoria de una variable con un multiplicador o un divisor constante es igual a la constante, en su función de multiplicador o divisor, por la sumatoria de los datos de la variable.
La expresión ∑CX ordena multiplicarla constante por cada dato dela variable X y luego hacer la sumatoria de los productos. Sustituyamos valores numéricos; ejemplo:

Veamos que los términos del segundo miembro tiene un factor constante. Por lo tanto:

El segundo miembro de esta igualdad es la constante que multiplica a los sumatorios delos datos de la variable de donde la 

Si la constante tiene una función de divisor, por un razonamiento análogo se muestra que:

También obsérvese en el primer miembro de la igualdad anterior ordena dividir cada dato de la variable entre la constante y luego sumar los cocientes; y el segundo, multiplicar el reciproco de la constante por la sumatoria de los datos de la variable, la expresión:
1/C         
También puede adoptar esta formula

5.-Sumatorias de potencias y raíces en una variable.
Para sumar potencias o raíces de una variable, primero se halla la potencia o la raíz y luego se lleva a cabo la sumatoria. Recordemos que un símbolo como  . Entonces: la expresión , indica elevar al cuadrado cada dato de la variable X y posteriormente sumar las potencias. Sustituyendo valores numéricos tenemos; ejemplo:

Estas operaciones son distintas a las que señala la expresión anterior 

en la cual se ejecuta primero la sumatoria y luego se eleva al cuadrado ejemplo:

Por lo cual es importante saber distinguir las expresiones. La primera la  

 representa la sumatoria de los cuadrados; la segunda 

, el cuadrado de la suma.
Y el caso de la sumatoria de las raíces de una variable por ejemplo:  

primero se extrae la raíz cuadrada o cada dato de la variable y luego se suman las raíces. Esto no es lo mismo que la expresión:  

6.- Regla para distribuir la sumatoria
Si después de la sumatoria encuentran entre paréntesis una expresión que incluye solo operaciones de suma o resta, la sumatoria puede ser distribuida entre los términos de la expresión. En símbolos:

Note que esta regla es valida para variables o constantes.


7.- Sumatoria de producto o el cociente de dos o más variables.
Si sumamos los productos de dos o más variables, algunos X y Y  tendremos la ∑XY.
Esta expresión manda a multiplicar cada dato de la variable y finalmente sumar los productos. Es decir:

Entonces: 

ejemplo:

 

NOTA: No confundir la ∑XY con ∑X(∑Y). Esta ultima se multiplica la sumatoria de los datos X por la sumatoria de los datos Y.

Necesitamos sumar el cociente dos variables, escribimos:
 Dividimos cada dato de la variable X entre el que le corresponde en la variable Y. esta expresión también es distinta a  , la cual indica el cociente de la sumatoria de los datos X entre la sumatoria de los datos Y.
EJERCICIOS: Con los datos siguientes efectúa las operaciones que se indican.